Воздух в системе водоснабжения/углубить колодец

Запросто попадет. И воздух из ГА при повреждении мембраны вполне может попасть в систему. Прохождение воздуха или слушать, или методом исключения - например отключить от автоматики/ГА внутреннюю разводку и посмотреть как будет идти вода. Аналогично и по кранам/веткам можно вычислить откуда берется/попадает воздух (т.е. только в горячей/холодной ветке или в каком-то конкретном кране/смесителе).
На всякий случай - https://www.forumhouse.ru/threads/97019/ ремонт ГА.

Нет. вся внутренняя система водопровода под давлением и воздух сам по себе в трубы не войдет. Если только за появление воздуха Вы не принимаете утечку остатков воды из гусака смесителя после его закрытия.

Фото и указание места протекания. Хоть вопрос больше к разделу "сантехника", но можно и здесь объяснить что сделать.

Если из смесителя действительно идет вода с воздухом, то причины появления воздуха могут быть:
1. поступление из неисправного ГА.
2. поступление из источника воды. Здесь без конкретного описания системы вариантов масса.
3. выделение при нагреве или отстаивании растворенного в воде воздуха (газов).

 

НС набрала давление и отключилась.
Нажимаете на ниппель. Пошла вода вместе/вместо воздуха - мембрану под замену.
Идет один воздух - выключаете насос из сети, открываете кран. Ждете пока в кране не закончится вода. Проверяете давление воздуха в ГА, должно быть хоть какое-то, т. е. не ноль. После этого пробуете покачать ГА. Бултыхается внутри вода - вероятно! мембрану под замену. Можно по весу прикинуть, но это если помните сколько весит ГА. 100%-но (кроме воды текущей из ниппеля) можно убедиться в неисправности только разобрав ГА.
Если между стенками бака и мембраной есть вода - мембрану однозначно под замену. Если Вы даже не видите повреждения, то присутствие воды это однозначно показатель неисправной мембраны.

Не автоматики, а труб внутренней разводки. Оставляете только НС, на выход вместо вашей внутренней разводки подключаете кран/шланг/трубу и проверяете что выходит с НС. Т. е. методом исключения определяем источник воздуха. Перестал попадаться воздух - возможно причина во внутренней разводке. Продолжает попадаться воздух - причина или в источнике, или во всасывающем трубопроводе, или в самой НС. Но это всё, опять же, не 100%-но. Совпадений никто не отменял.

Во время работы - не должна, во время простоя и при включении - вполне. Повторюсь еще раз - через монитор мне не видна ни его конструкция, ни что с ним, ни как подключен.